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【必修一】高中数学必备知识点:19.单调性与最大(小)值
2018-08-07 15:52:04   来源:   评论: 点击:

一、情景问题

如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图(24时与0时气温相同为32C),观察这张气温变化图:

问:该图形是否为函数图象?定义域是什么?

问:如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢?

画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象

可观察到的图象特征:(1)函数f(x)=x的图象由左至右是上升的;

(2)函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;也就是图象在区间(-∞,0]上,随x着的增大,相应的f(x) 随着减小,在区间(0,+∞)上,随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.

归纳:从上面的观察分析可以看出:不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上的变化趋势也不同.函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映.

思考:

1.如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大,相应的f(x)随着减小”,“随着x的增大,相应的f(x)也随着增大”?

2.在区间(0,+∞)上任取x1,x2,函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系?如何用数学符号语言来描述这种关系呢?

对于函数f(x)=x2 ,

在区间(0,+∞)上,任取两个x1,x2,当x1 x2时,有f(x1) f(x2).这时,我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数.

请你仿照刚才的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0)上是减函数.

对于函数f(x)=x2 ,

在区间(0,+∞)上,任取两个x1,x2,当x1x2时,有f(x1) f(x2).这时,我们就说函数在区间(0,+∞)上是增函数.

一、函数的单调性

1.增函数的定义

设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

2.减函数的定义

设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(decreasing function).

3.对定义要点分析

1) 函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的;

2)应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数).

3)如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函数,就说f(x)在这个区间D上具有单调函数,

这一区间D叫做f(x)的单调区间.

说明:

(1)函数的单调区间D是其定义域I的子集;

(2)判断函数的单调性的方法:

比较法(要注意变形的程度)

(3)证明函数的单调性的步骤:

(1)增减函数的图象有什么特点?增函数的图象从左自右是上升的,减函数的图象从左自右是下降的.

(2)用定义证明函数的单调性,需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小.

(3)如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

|标签:必修一 单调性与最大(小)值

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